下确界

时间:2024-03-03 17:24:11编辑:小体

上下界存在定理:

下确界:infimum,简写为 inf(注意和 infinity(无穷)的区别),最大下界,floor:地板的顶

上确界:supremum,最小上界,ceiling:天花板的底

0. (集合)最大数最小数

集合 中没有最大值。

采用反证法的形式进行证明,设 为该集合的最大值,令 (构造性证明),显然 ,且 ,这与 是集合 的最大值相矛盾。

1、 举例体会

上确界与最大值的区别

2 是集合 的上确界,但 却不存在一个确定的最大值

2、 上下界与上下确界

设非空集合 ,如果有实数 使得 (即 中所有元素均小于等于 ),则称 为 的一个上界。如果有实数 使得 ,则称 为 的一个下界

对于非空集合 属于 ,其最小上界称为 的上确界,以 表示最大下界称为 的下确界,以 表示。

确界是建立在最大最小数的基础上定义的

上确界,上界集合的最小数

下确界,下界集合的最大数

上确界,上界集合存在的最小数。上界集合存在最小数需要证明,令其上确界为 ,则 需满足

是上界: ?

是上界集合的最小数,,所以 不再是上界,因此 ?

由以上进一步可知

确界存在定理,也叫实数系连续定理,非空有上界的数集必有上确界,非空有下界的数集必有下确界。

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